Wzór na wierzchołek paraboli z wyjaśnieniem

W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest wierzchołek paraboli, skąd bierze się wzór na wierzchołek paraboli i jak go praktycznie używać. Po przeczytaniu powinieneś umieć samodzielnie obliczyć wierzchołek dowolnej funkcji kwadratowej.

Parabola i funkcja kwadratowa – krótkie przypomnienie

W matematyce parabola to wykres funkcji kwadratowej. Najczęściej spotykana postać funkcji kwadratowej to tzw. postać ogólna:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

gdzie:

• \(a, b, c\) – liczby rzeczywiste (współczynniki funkcji),
• \(a \neq 0\) – bo inaczej funkcja nie byłaby kwadratowa,
• \(x\) – zmienna niezależna (argument funkcji).

Wykres takiej funkcji to parabola:

• jeśli \(a > 0\) – parabola jest otwarta do góry,
• jeśli \(a < 0\) – parabola jest otwarta w dół.

Co to jest wierzchołek paraboli?

Wierzchołek paraboli to najniższy lub najwyższy punkt na wykresie funkcji kwadratowej:

• dla \(a > 0\) – wierzchołek jest minimem funkcji (najniższy punkt),
• dla \(a < 0\) – wierzchołek jest maksimum funkcji (najwyższy punkt).

Współrzędne wierzchołka oznaczamy zwykle jako:

\[ W = (x_w, y_w) \]

Znajomość wierzchołka jest bardzo przydatna:

• łatwo odczytujemy najmniejszą lub największą wartość funkcji,
• ułatwia to szkicowanie wykresu,
• pozwala łatwo analizować różne zadania tekstowe (np. optymalizacyjne).

Wzór na wierzchołek paraboli w postaci ogólnej

Dla funkcji kwadratowej w postaci ogólnej:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

współrzędne wierzchołka paraboli obliczamy ze wzorów:

\[ x_w = -\frac{b}{2a} \]

\[ y_w = f(x_w) \]

czyli najpierw liczymy współrzędną \(x_w\), a potem wstawiamy ją do funkcji, by policzyć \(y_w\).

Można też użyć alternatywnego wzoru na \(y_w\), wykorzystującego deltę:

\[ \Delta = b^2 – 4ac \]

\[ y_w = -\frac{\Delta}{4a} \]

Pamiętaj: delta \(\Delta\) jest często używana przy obliczaniu miejsc zerowych, ale przydaje się również do obliczenia \(y_w\).

Skąd się bierze wzór na wierzchołek paraboli?

Aby zrozumieć wzór na wierzchołek paraboli, warto poznać postać kanoniczną funkcji kwadratowej:

\[ f(x) = a(x – p)^2 + q \]

W tej postaci:

• wierzchołek paraboli ma współrzędne \((p, q)\),
• łatwo to zauważyć: gdy \(x = p\), to \((x – p)^2 = 0\), więc:

\[ f(p) = a \cdot 0^2 + q = q \]

Czyli punkt \((p, q)\) to najniższy (lub najwyższy) punkt wykresu.

Teraz zauważmy, że tę samą funkcję kwadratową możemy zapisać w dwóch postaciach:

• ogólnej: \(\ f(x) = ax^2 + bx + c\)
• kanonicznej: \(\ f(x) = a(x – p)^2 + q\)

Jeśli rozwiniesz postać kanoniczną, otrzymasz:

\[ f(x) = a(x^2 – 2px + p^2) + q = ax^2 – 2apx + ap^2 + q \]

Porównując to z postacią ogólną \(ax^2 + bx + c\), dostajemy:

• przy \(x\): \(-2ap = b \Rightarrow p = -\dfrac{b}{2a}\)

Stąd wynika wzór na \(x_w\):

\[ x_w = p = -\frac{b}{2a} \]

Następnie \(y_w\) to po prostu wartość funkcji w tym punkcie:

\[ y_w = f(x_w) \]

To jest cała idea – wzór nie jest „magiczny”, tylko wynika z porównania postaci ogólnej i kanonicznej.

Krok po kroku: jak znaleźć wierzchołek paraboli?

Załóżmy, że mamy funkcję:

\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]

1. Odczytujemy współczynniki:

• \(a = 2\)
• \(b = -4\)
• \(c = 1\)

2. Obliczamy współrzędną \(x_w\):

\[ x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \]

3. Obliczamy współrzędną \(y_w\), podstawiając do funkcji:

\[ y_w = f(1) = 2 \cdot 1^2 – 4 \cdot 1 + 1 = 2 – 4 + 1 = -1 \]

4. Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

\[ W = (1,\,-1) \]

Interpretacja:

• ponieważ \(a = 2 > 0\), parabola jest otwarta do góry,
• punkt \((1, -1)\) to najniższy punkt wykresu,
• najmniejsza wartość funkcji to \(-1\) i jest osiągana dla \(x = 1\).

Inny przykład: funkcja z ujemnym a

Rozważmy funkcję:

\[ f(x) = -3x^2 + 6x + 1 \]

1. Współczynniki:

• \(a = -3\)
• \(b = 6\)
• \(c = 1\)

2. Współrzędna \(x_w\):

\[ x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{6}{-6} = 1 \]

3. Współrzędna \(y_w\):

\[ y_w = f(1) = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 1 = -3 + 6 + 1 = 4 \]

4. Wierzchołek:

\[ W = (1, 4) \]

Tym razem \(a = -3 < 0\), więc parabola jest otwarta w dół i wierzchołek jest maksimum funkcji: największa wartość funkcji to \(4\) i jest osiągana dla \(x = 1\).

Tabela: porównanie różnych postaci funkcji kwadratowej

Postać funkcji	Zapis	Wierzchołek	Jak odczytać?
Ogólna	\(f(x) = ax^2 + bx + c\)	\(W = (x_w, y_w)\)	Liczymy \(x_w = -\dfrac{b}{2a}\), potem \(y_w = f(x_w)\)
Kanoniczna	\(f(x) = a(x – p)^2 + q\)	\(W = (p, q)\)	Wierzchołek od razu: \(p\) – współrzędna x, \(q\) – współrzędna y
Iloczynowa	\(f(x) = a(x – x_1)(x – x_2)\)	\(W = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\, f\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\right)\right)\)	Środek między miejscami zerowymi to \(x_w\); potem liczymy \(y_w\)

Wzór na wierzchołek paraboli a delta

Czasem wygodnie jest użyć delty. Przypomnijmy:

\[ \Delta = b^2 – 4ac \]

Miejsca zerowe (jeśli istnieją) to:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]

Współrzędna \(x_w\) to środek między \(x_1\) i \(x_2\):

\[ x_w = \frac{x_1 + x_2}{2} \]

Można pokazać, że:

\[ x_w = -\frac{b}{2a} \]

oraz:

\[ y_w = -\frac{\Delta}{4a} \]

Ten drugi wzór bywa przydatny, jeśli delta i tak została już policzona przy szukaniu miejsc zerowych.

Znaczenie wierzchołka paraboli w praktyce

Dlaczego wierzchołek jest taki ważny?

• Optymalizacja – np. szukamy maksymalnego zysku, minimalnego kosztu; jeśli zależność jest kwadratowa, maksimum/minimum jest w wierzchołku.
• Fizyka – np. rzut ukośny: tor ruchu to parabola, wierzchołek odpowiada największej wysokości.
• Geometria – rozkłady pól, odległości, itp. często prowadzą do funkcji kwadratowych.

Rozumiejąc, gdzie znajduje się wierzchołek, łatwiej interpretować wykresy i wyniki obliczeń.

Prosty wizualny obraz paraboli i wierzchołka

Poniżej znajduje się prosty wykres przykładowej paraboli w układzie współrzędnych. Zaznaczony punkt pokazuje wierzchołek funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 – 2x – 3\).

Najpierw policzmy wierzchołek tej funkcji:

\[ f(x) = x^2 – 2x – 3 \]

• \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\)
• \(x_w = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2} = 1\)
• \(y_w = f(1) = 1^2 – 2 \cdot 1 – 3 = 1 – 2 – 3 = -4\)

Wierzchołek: \(W = (1, -4)\).

Praktyczny kalkulator wierzchołka paraboli

Poniższy prosty kalkulator w JavaScript pomoże Ci szybko obliczyć wierzchołek paraboli dla funkcji w postaci ogólnej \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Wystarczy wpisać wartości \(a\), \(b\) i \(c\).

Typowe błędy przy obliczaniu wierzchołka paraboli

• Pomylenie znaku przy b – pamiętaj, że w \(x_w = -\dfrac{b}{2a}\) jest minus przed b. Jeśli \(b\) jest ujemne, minusy się „zniosą”.
• Zapomnienie o 2a w mianowniku – niektórzy zapisują \(-\dfrac{b}{a}\) zamiast \(-\dfrac{b}{2a}\); wtedy wynik jest błędny.
• Niepodstawienie do funkcji – obliczenie tylko \(x_w\) nie wystarcza, trzeba jeszcze policzyć \(y_w = f(x_w)\).
• Przy a = 0 – wtedy funkcja nie jest kwadratowa i nie mówimy o wierzchołku paraboli.

Podsumowanie: najważniejsze informacje

• Funkcja kwadratowa: \(\ f(x) = ax^2 + bx + c\), \(a \neq 0\).
• Wierzchołek paraboli: \(\ W = (x_w, y_w)\).
• Wzór na współrzędne wierzchołka w postaci ogólnej:
  • \(x_w = -\dfrac{b}{2a}\)
  • \(y_w = f(x_w)\) lub \(y_w = -\dfrac{\Delta}{4a}\), gdzie \(\Delta = b^2 - 4ac\)
• W postaci kanonicznej \(f(x) = a(x - p)^2 + q\) wierzchołek to po prostu \((p, q)\).
• Wierzchołek jest minimum (gdy \(a > 0\)) lub maksimum (gdy \(a < 0\)) funkcji kwadratowej.

Umiejętność obliczania wierzchołka paraboli pozwala nie tylko rysować wykresy, ale też lepiej rozumieć wiele zadań z matematyki i fizyki. Warto poćwiczyć na kilku dodatkowych przykładach, samodzielnie licząc wierzchołki i sprawdzając wyniki na wykresie lub za pomocą kalkulatora powyżej.