Mediana to jedno z podstawowych pojęć w statystyce, obok średniej arytmetycznej i dominanty. Jest szczególnie przydatna wtedy, gdy dane zawierają wartości skrajne (bardzo duże lub bardzo małe), które „psują” średnią. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest mediana, jak ją obliczyć oraz przećwiczymy obliczanie mediany na prostych przykładach. Na końcu znajdziesz prosty kalkulator mediany, który pomoże Ci samodzielnie sprawdzić wyniki.
Co to jest mediana? Intuicyjna definicja
Wyobraź sobie, że ustawiasz uczniów w klasie według wzrostu, od najniższego do najwyższego. Mediana to wzrost osoby stojącej dokładnie w środku tego szeregu.
Innymi słowy:
- połowa osób jest niższa lub równa medianie,
- połowa osób jest wyższa lub równa medianie.
To bardzo wygodny sposób opisu „typowej” wartości w zbiorze danych, który nie jest tak wrażliwy na wartości skrajne jak średnia.
Formalna definicja mediany
Załóżmy, że mamy zbiór \(n\) liczb (dane liczbowe):
\(\{x_1, x_2, x_3, \dots, x_n\}\)
Najpierw musimy uporządkować dane niemalejąco (od najmniejszej do największej). Oznaczmy uporządkowane dane jako:
\(x_{(1)} \le x_{(2)} \le x_{(3)} \le \dots \le x_{(n)}\)
Mediana zależy od tego, czy liczba elementów \(n\) jest nieparzysta, czy parzysta.
Przypadek 1: liczba obserwacji nieparzysta
Jeśli liczba danych \(n\) jest nieparzysta, to mediana to wartość, która znajduje się dokładnie w środku:
\[ Me = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} \]
Czyli: numer środka to \(\frac{n+1}{2}\).
Przykład: \(n = 7\)
- \(\frac{n+1}{2} = \frac{7+1}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
- Mediana to 4-ta liczba w uporządkowanym ciągu.
Przypadek 2: liczba obserwacji parzysta
Jeśli liczba danych \(n\) jest parzysta, to nie ma jednej środkowej liczby, tylko dwie „prawie środkowe”. Wtedy przyjmujemy, że mediana to średnia arytmetyczna z tych dwóch liczb:
\[ Me = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} \]
Czyli: bierzemy \(\frac{n}{2}\)-tą oraz \(\left(\frac{n}{2}+1\right)\)-szą liczbę w uporządkowanym ciągu i obliczamy ich średnią.
Krok po kroku: jak obliczyć medianę?
Procedura obliczania mediany jest zawsze taka sama:
- Spisz dane (np. wyniki testu, wzrosty, zarobki).
- Uporządkuj dane niemalejąco (od najmniejszej do największej).
- Sprawdź liczbę elementów \(n\) (ile jest liczb?).
- Jeśli \(n\) jest nieparzyste – wybierz środkowy element.
- Jeśli \(n\) jest parzyste – oblicz średnią z dwóch środkowych elementów.
Przykład 1: mediana dla nieuporządkowanych danych (n nieparzyste)
Mamy wyniki testu (w punktach):
\( \{12, 8, 15, 10, 9\} \)
Krok 1: Uporządkuj dane niemalejąco.
Sortujemy liczby od najmniejszej do największej:
\( \{8, 9, 10, 12, 15\} \)
Krok 2: Policzyć liczbę elementów.
Mamy \(n = 5\) wyników (liczba nieparzysta).
Krok 3: Znaleźć pozycję mediany.
Pozycja mediany:
\[ \frac{n+1}{2} = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Czyli mediana to 3-ci element w uporządkowanym zbiorze:
\( x_{(3)} = 10 \)
Odpowiedź: mediana wyników testu wynosi \(Me = 10\).
Przykład 2: mediana dla nieuporządkowanych danych (n parzyste)
Mamy wzrost (w cm) sześciu osób:
\( \{160, 175, 168, 180, 170, 165\} \)
Krok 1: Uporządkować dane niemalejąco.
\( \{160, 165, 168, 170, 175, 180\} \)
Krok 2: Policzyć liczbę elementów.
Mamy \(n = 6\) (liczba parzysta).
Krok 3: Wyznaczyć dwie środkowe pozycje.
- \(\frac{n}{2} = \frac{6}{2} = 3\) → 3-ci element,
- \(\frac{n}{2} + 1 = 3 + 1 = 4\) → 4-ty element.
W uporządkowanym zbiorze:
- \(x_{(3)} = 168\)
- \(x_{(4)} = 170\)
Krok 4: Obliczamy średnią z tych dwóch liczb.
\[ Me = \frac{168 + 170}{2} = \frac{338}{2} = 169 \]
Odpowiedź: mediana wzrostu wynosi \(Me = 169\) cm.
Tabela: porządkowanie danych i znajdowanie mediany
Poniższa tabela pokazuje, jak z nieuporządkowanego zbioru danych przechodzimy do uporządkowanego, a następnie wyznaczamy medianę.
| Przykład | Dane nieuporządkowane | Dane uporządkowane (niemalejąco) | Liczba elementów \(n\) | Pozycja(e) mediany | Mediana |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 (n nieparzyste) | \(12, 8, 15, 10, 9\) | \(8, 9, 10, 12, 15\) | \(n = 5\) | \(\frac{5+1}{2} = 3\) | \(Me = 10\) |
| 2 (n parzyste) | \(160, 175, 168, 180, 170, 165\) | \(160, 165, 168, 170, 175, 180\) | \(n = 6\) | \(\frac{6}{2} = 3\) i \(4\) | \(Me = \frac{168 + 170}{2} = 169\) |
Prosty wykres: mediana jako środkowa wartość
Na poniższym prostym wykresie słupkowym pokazujemy uporządkowane wyniki z Przykładu 1. Środkowa wartość (mediana) jest zaznaczona innym kolorem.
Dlaczego mediana bywa lepsza niż średnia?
Mediana jest odporna na wartości skrajne (tzw. outliery). Zobaczmy krótki przykład.
Mamy pensje w firmie (w zł):
\( \{3000, 3200, 3100, 2900, 40000\} \)
- Średnia arytmetyczna:
\[ \overline{x} = \frac{3000 + 3200 + 3100 + 2900 + 40000}{5} = \frac{52200}{5} = 10440 \]
Wynik sugeruje „przeciętną” pensję ponad 10 000 zł, co jest mylące, bo 4 osoby zarabiają około 3000 zł, a tylko jedna 40 000 zł. - Mediana:
- Uporządkowane dane: \( \{2900, 3000, 3100, 3200, 40000\} \)
- \(n = 5\) → mediana to 3-ci element → \(Me = 3100\)
Mediana (3100 zł) lepiej opisuje „typową” pensję w tej firmie niż średnia (10440 zł).
Mediana przy większej liczbie danych – przykład praktyczny
Załóżmy, że mamy wyniki testu z matematyki dla 12 uczniów:
\( \{15, 10, 18, 12, 14, 20, 8, 16, 19, 11, 13, 17\} \)
Krok 1: Uporządkowanie danych.
Sortujemy rosnąco:
\( \{8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\} \)
Krok 2: Liczba obserwacji.
\(n = 12\) (liczba parzysta).
Krok 3: Wyznaczenie dwóch środkowych pozycji.
- \(\frac{n}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
- \(\frac{n}{2} + 1 = 7\)
Środkowe elementy to:
- \(x_{(6)} = 14\)
- \(x_{(7)} = 15\)
Krok 4: Obliczenie mediany.
\[ Me = \frac{14 + 15}{2} = \frac{29}{2} = 14{,}5 \]
Odpowiedź: mediana wyniku testu to \(Me = 14{,}5\) punktu.
Mediana dla danych z powtórzeniami
Czasami w danych wiele wartości się powtarza. Definicja mediany się nie zmienia – nadal jest to środkowa wartość (lub średnia dwóch środkowych) w uporządkowanym ciągu.
Przykład:
\( \{3, 3, 5, 5, 5, 8, 10\} \)
- Dane są już uporządkowane.
- \(n = 7\) (nieparzyste).
- \(\frac{n+1}{2} = \frac{7+1}{2} = 4\) → 4-ta wartość to 5.
Mediana: \(Me = 5\).
Nawet jeśli 5 powtarza się wiele razy, nadal liczymy medianę tak samo.
Podsumowanie kroków obliczania mediany
- Zawsze najpierw uporządkuj dane rosnąco.
- Sprawdź, czy liczba danych \(n\) jest parzysta, czy nieparzysta.
- Jeśli \(n\) jest nieparzysta, użyj wzoru:
\[ Me = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} \] - Jeśli \(n\) jest parzysta, użyj wzoru:
\[ Me = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} \] - Pamiętaj, że mediana jest odporna na wartości skrajne i często lepiej opisuje „typową” wartość niż średnia arytmetyczna.
Prosty kalkulator mediany (JavaScript)
Poniżej znajdziesz prosty kalkulator mediany. Wpisz liczby oddzielone przecinkami (np. 12, 8, 15, 10, 9), a skrypt obliczy medianę oraz pokaże uporządkowaną listę danych.
